Sistema Hexadecimal
Bases de sistemas numéricos
Sistema Binario
Bases de sistemas numéricos
Sistema Octal
Bases de sistemas numéricos.
Matematicas Discretas
Bases de sistemas numéricos
miércoles, 3 de diciembre de 2014
lunes, 1 de diciembre de 2014
Introducción y bienvenida al blog
Introducción y bienvenida al blog.
Bienvenido a mi blog
El siguiente blog está realizado con el fin de poder brindar
información clara, concisa y de confianza a un público interesado de él. La
plataforma tiene la facilidad de poder cambiarse, por lo que los comentarios de
cualquier persona son bienvenidos, todos y cada uno de ellos se tomarán en
cuenta para poder realizar un ambiente de aprendizaje mutuo.
Está claramente dirigido a una asignatura en específico:
Matemáticas discretas, en el ámbito tal cual el título de nuestro blog lo
expone. Esto con la finalidad que tu como usuario puedas tener al alcance
información veraz y completa ,sobre un tema que es muy importante para tu desarrollo
académico lo cual te exige día a día buscar e investigar mas a fondo los temas
vistos en clase y de esta manera logres un mejor aprendizaje.
Considero que los temas que se exponen en el blog son de
vital importancia, ya que con esto pretendo brindarte no solo información, si no también
ejemplos y aplicaciones de los temas ya mencionados lo cual te permitirá un
mejor análisis. Además pensando en las grandes ventajas de la tecnología de hoy
en día, un blog es una excelente herramienta a la que todos podemos acceder
fácilmente, muchas veces el realizar una investigación sobre un tema, nos
resulta tedioso el buscar en diferentes páginas web información que sea de
utilidad y en ocasiones las fuentes de
información no son válidas y por consecuencia la información no es veraz,
pensando en ello buscamos información confiable lo más sintetizada posible para
facilitar su comprensión.
1.1 Sistemas Numéricos
1.1 Sistemas numéricos
(Binario, Octal, Decimal,
Sistema
de numeración:
Un sistema de numeración es un conjunto
de símbolos y reglas que permiten representar datos numéricos. Los sistemas de
numeración actuales son sistemas posicionales, que se caracterizan porque un
símbolo tiene distinto valor según la posición que ocupa en la cifra.
1.1.1Sistema de numeración decimal:
El sistema de numeración que utilizamos
habitualmente es el decimal, que se compone de diez símbolos o dígitos (0, 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) a los que otorga un valor dependiendo de la posición
que ocupen en la cifra: unidades, decenas, centenas, millares, etc.
El valor de cada dígito está asociado al
de una potencia de base 10, número que coincide con la cantidad de símbolos o
dígitos del sistema decimal, y un exponente igual a la posición que ocupa el
dígito menos uno, contando desde la derecha.
En el sistema decimal el número 528, por
ejemplo, significa:
5 centenas + 2 decenas + 8 unidades, es decir:
5*102 +
2*101 + 8*100 o, lo que es lo mismo:
500 + 20 + 8 = 528
1.1.2 Sistema de numeración binario:
El sistema de numeración binario utiliza
sólo dos dígitos, el cero (0) y el uno (1).
En una cifra binaria, cada dígito tiene
distinto valor dependiendo de la posición que ocupe. El valor de cada posición
es el de una potencia de base 2, elevada a un exponente igual a la posición del
dígito menos uno. Se puede observar que, tal y como ocurría con el sistema
decimal, la base de la potencia coincide con la cantidad de dígitos utilizados
(2) para representar los números.
De acuerdo con estas reglas, el número
binario 1011 tiene un valor que se calcula así:
1*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 , es decir: 8 + 0 + 2 + 1 = 11
y para expresar que ambas cifras describen la
misma cantidad lo escribimos así:
10112 = 1110
1.1.3
Sistema de numeración octal:
El inconveniente de la codificación
binaria es que la representación de algunos números resulta muy larga. Por este
motivo se utilizan otros sistemas de numeración que resulten más cómodos de
escribir: el sistema octal y el sistema hexadecimal. Afortunadamente, resulta
muy fácil convertir un número binario a octal o a hexadecimal.
En el sistema de numeración octal, los
números se representan mediante ocho dígitos diferentes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y
7. Cada dígito tiene, naturalmente, un valor distinto dependiendo del lugar
que ocupen. El valor de cada una de las posiciones viene determinado por las
potencias de base 8.
Por ejemplo, el número octal 2738 tiene
un valor que se calcula así:
2*83 + 7*82 + 3*81 = 2*512 + 7*64 + 3*8 = 149610
2738 = 149610
1.1.4
Sistema de numeración hexadecimal.
En el sistema hexadecimal los números se
representan con dieciséis símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E
y F. Se utilizan los caracteres A, B, C, D, E y F representando las cantidades
decimales 10, 11, 12, 13, 14 y 15 respectivamente, porque no hay dígitos
mayores que 9 en el sistema decimal. El valor de cada uno de estos símbolos
depende, como es lógico, de su posición, que se calcula mediante potencias de
base 16.
Calculemos, a modo de ejemplo, el valor del
número hexadecimal 1A3F16:
1A3F16 = 1*163 + A*162 + 3*161 + F*160
1*4096 + 10*256 + 3*16 + 15*1 = 6719
1A3F16 = 671910
1.2 Conversiones entre sistemas
1.2
Conversiones entre sistemas numéricos.
Conversión
entre números decimales y binarios.
Convertir un número decimal al sistema
binario es muy sencillo: basta con realizar divisiones sucesivas por 2 y
escribir los restos obtenidos en cada división en orden inverso al que han sido
obtenidos.
Por ejemplo, para convertir al sistema
binario el número 7710 haremos una serie de divisiones que arrojarán los restos
siguientes:
77 : 2 = 38
Resto: 1
38 : 2 = 19
Resto: 0
19 : 2 = 9
Resto: 1
9 : 2 = 4
Resto: 1
4 : 2 = 2
Resto: 0
2 : 2 = 1
Resto: 0
1 : 2 = 0
Resto: 1
y, tomando los
restos en orden inverso obtenemos la cifra binaria:
7710 = 10011012
Conversión
de binario a decimal.
El proceso para convertir
un número del sistema binario al decimal es aún más sencillo; basta con
desarrollar el número, teniendo en cuenta el valor de cada dígito en su
posición, que es el de una potencia de 2, cuyo exponente es 0 en el bit situado
más a la derecha, y se incrementa en una unidad según vamos avanzando
posiciones hacia la izquierda.
Por ejemplo, para
convertir el número binario 10100112 a decimal, lo desarrollamos teniendo en
cuenta el valor de cada bit:
1*26 + 0*25 + 1*24 + 0*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 = 83
10100112 = 8310
Conversión
de un número decimal a octal.
La conversión de un
número decimal a octal se hace con la misma técnica que ya hemos utilizado en
la conversión a binario, mediante divisiones sucesivas por 8 y colocando los
restos obtenidos en orden inverso. Por ejemplo, para escribir en octal el
número decimal 12210 tendremos que hacer las siguientes divisiones:
122 : 8 = 15 Resto: 2
15 : 8 = 1 Resto: 7
1 : 8 = 0
Resto: 1
Tomando los restos obtenidos en orden inverso
tendremos la cifra octal:
12210 = 1728
Conversión
octal a decimal.
La conversión de un
número octal a decimal es igualmente sencilla, conociendo el peso de cada
posición en una cifra octal. Por ejemplo, para convertir el número 2378 a
decimal basta con desarrollar el valor de cada dígito:
2*82 + 3*81 + 7*80 = 128 + 24 + 7 = 15910
2378 = 15910
Conversión de números binarios a octales y
viceversa.
Observa la tabla siguiente,
con los siete primeros números expresados en los sistemas decimal, binario y
octal:
DECIMAL
|
BINARIO
|
OCTAL
|
0
|
000
|
0
|
1
|
001
|
1
|
2
|
010
|
2
|
3
|
011
|
3
|
4
|
100
|
4
|
5
|
101
|
5
|
6
|
110
|
6
|
7
|
111
|
7
|
Cada dígito de un número octal se representa con tres dígitos en el sistema binario. Por tanto, el modo de convertir un número entre estos sistemas de numeración equivale a "expandir" cada dígito octal a tres dígitos binarios, o en "contraer" grupos de tres caracteres binarios a su correspondiente dígito octal.
Por ejemplo, para convertir el número binario 1010010112 a octal tomaremos grupos de tres bits y los sustituiremos por su equivalente octal:
1012 = 58
0012 = 18
0112 = 38
y, de ese modo: 1010010112 =
5138
La conversión de números
octales a binarios se hace, siguiendo el mismo método, reemplazando cada dígito
octal por los tres bits equivalentes. Por ejemplo, para convertir el número
octal 7508 a binario, tomaremos el equivalente binario de cada uno de sus
dígitos:
78 = 1112
58 = 1012
08 = 0002
y, por tanto: 7508 =
1111010002
Del mismo modo que hallamos la
correspondencia entre números octales y binarios, podemos establecer una
equivalencia directa entre cada dígito hexadecimal y cuatro dígitos binarios,
como se ve en la siguiente tabla:
DECIMAL
|
BINARIO
|
HEXADECIMAL
|
0
|
0000
|
0
|
1
|
0001
|
1
|
2
|
0010
|
2
|
3
|
0011
|
3
|
4
|
0100
|
4
|
5
|
0101
|
5
|
6
|
0110
|
6
|
7
|
0111
|
7
|
8
|
1000
|
8
|
9
|
1001
|
9
|
10
|
1010
|
A
|
11
|
1011
|
B
|
12
|
1100
|
C
|
13
|
1101
|
D
|
14
|
1110
|
E
|
15
|
1111
|
F
|
La conversión entre números
hexadecimales y binarios se realiza "expandiendo" o "contrayendo"
cada dígito hexadecimal a cuatro dígitos binarios. Por ejemplo, para expresar
en hexadecimal el número binario 1010011100112 bastará con
tomar grupos de cuatro bits, empezando por la derecha, y reemplazarlos por su
equivalente hexadecimal:
10102 = A16
01112 = 716
00112 = 316
y, por tanto: 1010011100112 =
A7316
En caso de que los
dígitos binarios no formen grupos completos de cuatro dígitos, se deben añadir
ceros a la izquierda hasta completar el último grupo. Por ejemplo:
1011102 =
001011102 = 2E16
La conversión
de números hexadecimales a binarios se hace del mismo modo, reemplazando cada
dígito hexadecimal por los cuatro bits equivalentes de la tabla. Para convertir
a binario, por ejemplo, el número hexadecimal 1F616 hallaremos en la tabla las
siguientes equivalencias:
116 = 00012
F16 = 11112
616 = 01102
y, por tanto: 1F616 = 0001111101102
La conversión de números hexadecimales a
binarios se hace del mismo modo, reemplazando cada dígito hexadecimal por los
cuatro bits equivalentes de la tabla. Para convertir a binario, por ejemplo, el
número hexadecimal 1F616 hallaremos en la tabla las
siguientes equivalencias:
116 = 00012
F16 = 11112
616 = 01102
y, por tanto: 1F616 = 0001111101102
1.3 Operaciones básicas
(Suma, Resta,
Multiplicación,
División)
La conversión
de números hexadecimales a binarios se hace del mismo modo, reemplazando cada
dígito hexadecimal por los cuatro bits equivalentes de la tabla. Para convertir
a binario, por ejemplo, el número hexadecimal 1F616 hallaremos en la tabla las
siguientes equivalencias:
116 = 00012
F16 = 11112
616 = 01102
y, por tanto: 1F616 = 0001111101102
Procedimiento para conversión de una base x a base 10.
Se puede utilizar el método de la división
sintética. Evaluando la parte entera para x.
Ejemplo:
Procedimiento para conversión de base 10
a una base x
Se realiza por el método de divisiones
sucesivas para la parte entera y de
Multiplicaciones sucesivas para la parte
fraccionaria:
Ejemplo parte entera (1532)10 ----->
base 6:
Es decir
se divide el número decimal entre la base x hasta que
el cociente sea menor que la base y el número será formado con todos los
residuos del último al primero.
Ejemplo
parte fraccionaria (0.875)10 ----> base 2:
Es decir
se realizan multiplicaciones sucesivas de las partes fraccionarias del resultado
hasta que la fracción sea cero o hasta la precisión desea. El número será
compuesto de las partes enteras de las multiplicaciones desde la primera hasta
la última.
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