1.2
Conversiones entre sistemas numéricos.
Conversión
entre números decimales y binarios.
Convertir un número decimal al sistema
binario es muy sencillo: basta con realizar divisiones sucesivas por 2 y
escribir los restos obtenidos en cada división en orden inverso al que han sido
obtenidos.
Por ejemplo, para convertir al sistema
binario el número 7710 haremos una serie de divisiones que arrojarán los restos
siguientes:
77 : 2 = 38
Resto: 1
38 : 2 = 19
Resto: 0
19 : 2 = 9
Resto: 1
9 : 2 = 4
Resto: 1
4 : 2 = 2
Resto: 0
2 : 2 = 1
Resto: 0
1 : 2 = 0
Resto: 1
y, tomando los
restos en orden inverso obtenemos la cifra binaria:
7710 = 10011012
Conversión
de binario a decimal.
El proceso para convertir
un número del sistema binario al decimal es aún más sencillo; basta con
desarrollar el número, teniendo en cuenta el valor de cada dígito en su
posición, que es el de una potencia de 2, cuyo exponente es 0 en el bit situado
más a la derecha, y se incrementa en una unidad según vamos avanzando
posiciones hacia la izquierda.
Por ejemplo, para
convertir el número binario 10100112 a decimal, lo desarrollamos teniendo en
cuenta el valor de cada bit:
1*26 + 0*25 + 1*24 + 0*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 = 83
10100112 = 8310
Conversión
de un número decimal a octal.
La conversión de un
número decimal a octal se hace con la misma técnica que ya hemos utilizado en
la conversión a binario, mediante divisiones sucesivas por 8 y colocando los
restos obtenidos en orden inverso. Por ejemplo, para escribir en octal el
número decimal 12210 tendremos que hacer las siguientes divisiones:
122 : 8 = 15 Resto: 2
15 : 8 = 1 Resto: 7
1 : 8 = 0
Resto: 1
Tomando los restos obtenidos en orden inverso
tendremos la cifra octal:
12210 = 1728
Conversión
octal a decimal.
La conversión de un
número octal a decimal es igualmente sencilla, conociendo el peso de cada
posición en una cifra octal. Por ejemplo, para convertir el número 2378 a
decimal basta con desarrollar el valor de cada dígito:
2*82 + 3*81 + 7*80 = 128 + 24 + 7 = 15910
2378 = 15910
Conversión de números binarios a octales y
viceversa.
Observa la tabla siguiente,
con los siete primeros números expresados en los sistemas decimal, binario y
octal:
DECIMAL
|
BINARIO
|
OCTAL
|
0
|
000
|
0
|
1
|
001
|
1
|
2
|
010
|
2
|
3
|
011
|
3
|
4
|
100
|
4
|
5
|
101
|
5
|
6
|
110
|
6
|
7
|
111
|
7
|
Cada dígito de un número octal se representa con tres dígitos en el sistema binario. Por tanto, el modo de convertir un número entre estos sistemas de numeración equivale a "expandir" cada dígito octal a tres dígitos binarios, o en "contraer" grupos de tres caracteres binarios a su correspondiente dígito octal.
Por ejemplo, para convertir el número binario 1010010112 a octal tomaremos grupos de tres bits y los sustituiremos por su equivalente octal:
1012 = 58
0012 = 18
0112 = 38
y, de ese modo: 1010010112 =
5138
La conversión de números
octales a binarios se hace, siguiendo el mismo método, reemplazando cada dígito
octal por los tres bits equivalentes. Por ejemplo, para convertir el número
octal 7508 a binario, tomaremos el equivalente binario de cada uno de sus
dígitos:
78 = 1112
58 = 1012
08 = 0002
y, por tanto: 7508 =
1111010002
Del mismo modo que hallamos la
correspondencia entre números octales y binarios, podemos establecer una
equivalencia directa entre cada dígito hexadecimal y cuatro dígitos binarios,
como se ve en la siguiente tabla:
DECIMAL
|
BINARIO
|
HEXADECIMAL
|
0
|
0000
|
0
|
1
|
0001
|
1
|
2
|
0010
|
2
|
3
|
0011
|
3
|
4
|
0100
|
4
|
5
|
0101
|
5
|
6
|
0110
|
6
|
7
|
0111
|
7
|
8
|
1000
|
8
|
9
|
1001
|
9
|
10
|
1010
|
A
|
11
|
1011
|
B
|
12
|
1100
|
C
|
13
|
1101
|
D
|
14
|
1110
|
E
|
15
|
1111
|
F
|
La conversión entre números
hexadecimales y binarios se realiza "expandiendo" o "contrayendo"
cada dígito hexadecimal a cuatro dígitos binarios. Por ejemplo, para expresar
en hexadecimal el número binario 1010011100112 bastará con
tomar grupos de cuatro bits, empezando por la derecha, y reemplazarlos por su
equivalente hexadecimal:
10102 = A16
01112 = 716
00112 = 316
y, por tanto: 1010011100112 =
A7316
En caso de que los
dígitos binarios no formen grupos completos de cuatro dígitos, se deben añadir
ceros a la izquierda hasta completar el último grupo. Por ejemplo:
1011102 =
001011102 = 2E16
La conversión
de números hexadecimales a binarios se hace del mismo modo, reemplazando cada
dígito hexadecimal por los cuatro bits equivalentes de la tabla. Para convertir
a binario, por ejemplo, el número hexadecimal 1F616 hallaremos en la tabla las
siguientes equivalencias:
116 = 00012
F16 = 11112
616 = 01102
y, por tanto: 1F616 = 0001111101102
La conversión de números hexadecimales a
binarios se hace del mismo modo, reemplazando cada dígito hexadecimal por los
cuatro bits equivalentes de la tabla. Para convertir a binario, por ejemplo, el
número hexadecimal 1F616 hallaremos en la tabla las
siguientes equivalencias:
116 = 00012
F16 = 11112
616 = 01102
y, por tanto: 1F616 = 0001111101102
1.3 Operaciones básicas
(Suma, Resta,
Multiplicación,
División)
La conversión
de números hexadecimales a binarios se hace del mismo modo, reemplazando cada
dígito hexadecimal por los cuatro bits equivalentes de la tabla. Para convertir
a binario, por ejemplo, el número hexadecimal 1F616 hallaremos en la tabla las
siguientes equivalencias:
116 = 00012
F16 = 11112
616 = 01102
y, por tanto: 1F616 = 0001111101102
Procedimiento para conversión de una base x a base 10.
Se puede utilizar el método de la división
sintética. Evaluando la parte entera para x.
Ejemplo:
Procedimiento para conversión de base 10
a una base x
Se realiza por el método de divisiones
sucesivas para la parte entera y de
Multiplicaciones sucesivas para la parte
fraccionaria:
Ejemplo parte entera (1532)10 ----->
base 6:
Es decir
se divide el número decimal entre la base x hasta que
el cociente sea menor que la base y el número será formado con todos los
residuos del último al primero.
Ejemplo
parte fraccionaria (0.875)10 ----> base 2:
Es decir
se realizan multiplicaciones sucesivas de las partes fraccionarias del resultado
hasta que la fracción sea cero o hasta la precisión desea. El número será
compuesto de las partes enteras de las multiplicaciones desde la primera hasta
la última.
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